마두식(MATHUSIC)의 중등수학 올림피아드를 위한 정수론. '초급', '중급', '고급', '풀이'로 구성되었다.
저자 소개
김광현
대구과학고등학교 졸업
성균관대학교 수학과 졸업
서울대학교 대학원 수리과합부 박사 수료 (정수론 전공)
목 차
제1권
·기본이론편·
Chapter-1. 정수의 입문 정수의 기초 개념 ● 3
Chapter 0. 수학의 언어 논리와 수학적 증명방법 그리고 수열이야기 ● 23
Chapter 1. 정수의 시작 약수와 배수 및 나머지 ● 49
Chapter 2. 정수의 표현방법 기수법과 배수판정법 ● 71
Chapter 3. 정수의 세포 소수 ● 95
Chapter 4. 정수만의 특징 최대공약수와 유클리드 호제법 ● 127
Chapter 5. 정수만의 함수 산술함수의 기초 ● 163
Chapter 6. 정수값을 가지는 함수 가우스 함수 ● 195
Chapter 7. 정수의 혁명 합동식의 기본성질 ● 229
제2권
·심화이론편·
Chapter 8. 심화정수론의 시작 일차잉여방정식과 특별한 합동식 ● 3
Chapter 9. 정수의 끝 정수조건 부정방정식 ● 45
·테마편·
Theme 00. 경시를 위한 사전 지식 ● 89
Theme 01. 나머지 분류 ● 97
Theme 02. 자릿수 문제와 진법 및 배수판정법 ● 115
Theme 03. 자릿수의 합 ● 133
Theme 04. 소수와 합성수 및 소인수분해 ● 145
Theme 05. 최대공약수와 유클리드 호제법 및 일차부정방정식의 해법 ● 159
Theme 06. 약수의 개수와 합 및 완전수 ● 173
Theme 07. 가우스 함수 ● 189
Theme 08. 망원급수 ● 211
제3권
·테마편·
Theme 09. module 이론 ● 3
Theme 10. 오일러 파이함수와 산술함수의 기초 ● 27
Theme 11. 부정방정식의 전략들 ● 41
Theme 12. 소인수의 최대지수 ● 67
·고급이론편 (Bonus Track)·
Chapter 10. 미처 못다한 정수이야기 심화 정수론 ● 93
·종합문제편·
1회 - 12회 ● 139
제4권-풀이
·풀이편·
- 제1권 기본이론편 풀이 ● 1
- 제2권 심화이론편 풀이 ● 125
- 제2권 테마편 풀이 ● 169
- 제3권 테마편 풀이 ● 257
- 제3권 고급이론편 풀이 ● 315
- 제3권 종합문제편 풀이 ● 343
·부록·
- 10000 이하의 모든 소수 ● 379
- 참고 도서 및 웹 ● 382
출판사 서평
머리말
수학올림피아드의 출제범위는 크게 정수론, 기하학, 조합론, 해석학의 4개 영역이다. 이 중 정수론은 가장 출제가 많이 되는 부분이다. 가령, 주니어 발칸 올림피아드의 경우, 1998년부터 매년 네 문제씩 출제되고 있는데 이 중 한 문제는 항상 정수문제이고, 어떤 해는 두 문제, 즉 절반이 정수문제인 경우도 있다. 한국수학올림피아드(KMO)에서도 통계상으로 정수문제의 비율이 가장 높으며 전 세계 수학올림피아드를 막론하고 정수문제가 빠지는 경우는 찾을 수 없다. 그래서 수학올림피아드를 본격적으로 준비하는 학생들이면 정수론을 가장 먼저 공부하는 것이 일반적이다.
필자가 중고교시절에는 수학올림피아드를 준비할 수 있는 정수론 교재가 많지 않았다. 심화 교재들은 거의 고등학생 기준에 맞춰있었고 너무 어려워서 중학생이나 처음부터 준비하려는 학생들이 보기에는 다소 힘든 점이 있었다. 그래서 이 책을 펴내려고 생각한지도 벌써 10년이 된 지금, 막상 써 놓고 나니 이 전의 훌륭한 심화 교재들보다 못하다는 생각도 들고, 후회되는 곳들도 많다. 아마 앞으로 개선해야 될 점이 많으리라 생각된다.
수학올림피아드 문제들을 해결하는데 많은 아이디어가 필요하다보니, 상당수의 학생들이
- 왜 이렇게 풀어야 할까?
- 이런 생각은 도대체 어떻게 한 걸까?
- 그렇게 풀게 된 동기(Motive)가 무엇일까?
와 같은 질문을 하며 투덜대는 경우가 많다. 저자 또한 그래왔고, 지금도 현재 연구하는 분야에서 이 질문을 스스로에게 끊임없이 던지고 있다. 이 교재는 학생들의 이러한 질문 때문에 탄생했다고 해도 과언이 아니다. 필자는 기존 수학올림피아드 교재들의 최대단점이 이러한 질문에 대한 설명의 부재(不在)라고 여겼다. 기존에 백 권의 올림피아드 교재가 있다면, 이 책이 백한 권 째 올림피아드 교재가 아닌 새로운 한권의 올림피아드 교재로서 역할을 할 수 있도록 주력한 부분이 바로 이러한 설명-Motivation 혹은 Motive-이다.
