수학 공부의 99%는 기본 개념 이해다!
이 책은 총 7장으로 이루어져 있다. 1장 ‘수와 연산에 대해 알아보자’에서는 수의 종류와 역사에 대해 알아보며, 각각의 수를 연산하는 방법을 이해하고 연산을 해결한다. 또한 소수·합성수·약수·배수의 개념을 이해하고, 소인수분해로 수를 분해해 다양하게 활용하는 방법을 배운다. 2장 ‘식의 계산, 이보다 더 쉬울 수 없다’에서는 문자를 사용해 나타낸 식의 사칙연산이 필요할 때 알아야 할 개념, 그리고 동류항과 분배법칙, 지수법칙 등으로 해결하는 방법을 배운다. 또한 곱셈공식과 인수분해를 이용해 식을 전개식이나 곱의 형태로 변형해 활용해본다. 3장 ‘방정식과 부등식, 이보다 더 재미있을 수 없다’에서는 방정식과 부등식의 기본 용어와 개념을 이해하고, 일차방정식과 일차부등식에서 해를 구하는 방법을 알아본다. 그리고 각각의 식을 좀 더 확장해 연립일차방정식과 연립일차부등식의 해를 구하는 방법을 배운다. 더 나아가 이차방정식에서 근의 공식을 유도하고, 다양한 방법을 통해 해를 구해본다.
4장 ‘함수, 이보다 더 즐거울 수 없다’에서는 함수의 개념을 이해하고 함수의 그래프를 그려본다. 또한 주어진 조건이나 그래프를 보고 함수식을 찾아내 다양한 활용 문제에 적용해본다. 5장 ‘통계와 확률, 이보다 더 알찰 수 없다’에서는 주어진 통계자료를 정리·관찰·비교·분석하는 단계를 거쳐 대푯값과 산포도의 개념을 이해하고, 사건별·유형별 문제를 통해 경우의 수와 확률을 구해본다. 특히 생활 속에서 접할 수 있는 다양한 유형의 문제를 다루면서 개념을 이해하고 적용할 수 있는 힘을 키워준다. 6장 ‘평면도형, 이보다 더 분명할 수 없다’에서는 다각형과 원의 성질을 이해하고 관찰해 각 도형의 정의를 포함한 개념과 성질을 알아본다. 7장 ‘입체도형, 이보다 더 명확할 수 없다’에서는 도형을 종류별로 관찰해 꼭짓점·모서리·면 등을 찾아 입체도형의 특징을 알아보고, 입체도형의 특징과 성질을 바탕으로 겉넓이와 부피를 구해본다. 중학교 1학년부터 3학년까지의 개념을 한 권에 담은 이 책으로 수학이라는 장애물을 뛰어 넘어보자.

[책속으로 추가]
면과 면이 만날 때 생기는 직선 또는 곡선을 교선이라 한다.
면: 길이와 폭만 존재하는 기본도형
면은 입체도형을 만드는 기본요소로, 길이와 넓이는 존재하지만 부피는 존재하지 않는다. 면에는 평면과 곡면이 있고, 평면은 직선이 그 위에 무수히 많이 놓인 것이다.
각: 한 점 O에서 시작되는 2개의 반직선 OA, OB에 의해 만들어지는 도형
이 도형을 각AOB라 하고, 기호로 ∠AOB 또는 ∠BOA, ∠O 또는 ∠a와 같이 나타낸다.
_pp. 206~208

일상적으로 사용하는 닮음의 의미와 수학에서의 닮음의 의미는 다르다. 일상생활에서 “아빠와 아들이 닮았다.” 또는 “두 건물이 닮았다.”라고 하면 ‘비슷하다’의 의미를 담고 있다. 그러나 수학에서 “두 도형이 닮음이다.” 또는 “닮은 도형이다.”라고 하면 ‘비율이 일정하다’의 의미를 담고 있다. 즉 수학에서는 합동을 포함해 일정한 비율로 축소하거나 확대하는 것을 닮음이라고 한다. 오른쪽 그림과 같이 작은 직사각형을 일정한 비율로 확대해 큰 직사각형을 만들었다. 이와 같이 한 도형을 일정한 비율로 축소하거나 확대해 얻은 도형과 처음 도형은 서로닮음이라고 하며, 서로 닮음인 관계에 있는 두 도형을 닮은 도형이라 한다. 만약 두 삼각형△ABC와 △A'B'C'가 닮은 도형이라고 한다면 기호로 △ABC∽△A'B'C'와 같이 나타낸다. 두 도형이 합동일 때도 두 도형은 닮음이 된다. 이렇게 합동인 두 도형을 1 : 1 닮음이라고 한다. 즉 닮음은 일정한 비율로 축소. 확대한 것과 합동(1 :1닮음)을 포함하는 개념이다. _pp. 223~224

피타고라스 정리는 직각삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 나타낸 명제다. 고대 이집트나 메소포타미아, 인도, 중국 등의 문서에서 피타고라스 정리를 사한 흔적을 볼 수 있는데, 고대 건축이나 토지의 측량 등 생활 속에서 정확한 직각을 찾을 때 사용되었다. 예를 들어 고대 이집트에서는 긴 끈을 일정한 간격으로 3칸, 4칸, 5칸짜리 삼각형을 만들면 3칸과 4칸 사이가 직각이 된다는 사실을 알았다. 피타고라스 정리를 일반화하고 증명한 사람은 피타고라스이지만, 그 이전부터 피타고라스 정리에 대한 개념은 실생활 속에서 사용되었다. 피타고라스 정리의 기본 원리는 다음과 같다. ∠C가 직각삼각형 ABC에서 세변을 a, b, c라 하면 a²+b²=c²(c: 빗변)이다. 피타고라스 정리는 여러 가지 방법으로 증명이 가능하다. 대부분 증명은 직각삼각형으로 새로운 도형을 만들고, 도형의 넓이나 성질을 이용해 대수의 개념으로 바꾸어 세 변 사이의 관계식 a²+b²=c²이 만족함을 보이는 것이다. _pp.235~236

원은 우리 주변에서 쉽게 볼 수 있는 매우 친숙한 모양이다. 동전이나 자동차 바퀴뿐만 아니라 시계, 컵, 탁자 등 생활 속에서 다양하게 만들어진 원을 볼 수 있다. 그럼 물건들을 원으로 왜 만드는 것일까? 또 원으로 만들었을 때 좋은 점은 무엇일까? 물건을 원으로 만들면 어느 위치에서 보든지 같은 모양이고 힘을 일정하게 받는다. 바퀴를 원 모양으로 할 때 바퀴는 항상 일정한 힘을 받고, 지면과 한점에서 만나기 때문에 마찰력을 최소화할 수 있다. 그래서 같은 힘으로 가장 멀리 갈 수 있다. 또한 동전, 탁자, 시계 등을 원 모양으로 만들면 어디에서 보든 지름의 길이가 일정하기 때문에 안정적이고 아름다운 모양이 된다.
원: 평면 위의 한 정점 O로부터 일정한 거리에 있는 점들의 모임(자취)
이때 한 정점을 원의 중심이라 하고, 원의 중심이 O이면 원 O라고 부른다. 일정한 거리를 원의 반지름이라고 하고,radius의 약자인 ‘r’이라고 부른다. 자취는 도형이 남긴 표시나 자리의 흔적을 말한다. _pp.246~247

각뿔은 밑면은 다각형이고 옆면은 삼각형으로 이루어진 입체도형이다. 특징은 다음과 같다. 첫째, 옆면의 모양이 삼각형이다. 둘째, 밑면의 모양은 입체도형의 이름에서 알 수 있으며 밑면은 1개다. 셋째, 옆면의 개수는 밑면의 다각형의 변의 개수에 따라 결정된다. 각뿔대는 각뿔을 밑면과 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 다면체 중에서 각뿔이 아닌 입체도형이다. 각뿔대는 다음과 같은 특징이 있다. 첫째, 각뿔대의 두 밑면은 평행하면서 닮음이므로 옆면의 모양은 사다리꼴이다. 둘째, 밑면의 모양은 입체도형의 이름에서 알 수 있으며 밑면은 2개다. 셋째, 옆면의 개수는 밑면인 다각형의 변의 개수에 따라 결정된다. 예를 들어 사각뿔대라면 옆면의 개수는 사각형의 변의 개수와 같은 4개가 된다. 넷째, 꼭짓점의 개수는 밑면인 다각형의 꼭짓점의 개수의 2배다. 각뿔대는 두 밑면의 꼭짓점을 연결해 만든 입체도형이기 때문이다. 다섯째, 모서리의 개수는 밑면인 다각형의 변의 개수의 3배다. 각뿔대는 두 밑면의 꼭짓점을 선분으로 연결해 만든 입체도형이기 때문이다. _pp.257~258

겉넓이란 무엇이고 어떻게 구할까? 평면도형에서 평면의 크기를 양으로 나타낸 것을 면적 또는
넓이라고 한다. 그렇다면 입체도형에서도 넓이를 구할 수 있을까? 입체도형에서는 넓이라는 용어 대신 겉넓이라는 용어를 사용한다. 즉 입체도형에서 겉 표면의 넓이를 표면적 또는 겉넓이라고 한다. 넓이는 평면의 개념이므로 입체도형의 겉넓이를 구할 때 입체도형을 평면의 형태로 만들면 쉽게 구할 수 있다. 입체도형의 표면을 적당히 잘라 평면 위에 펼쳐놓은 것을 입체도형의 전개도라고 한다. 즉 각각의 입체도형에 대해 전개도를 그릴 수 있다면, 겉넓이는 전개도의 넓이로 구할 수 있다. 각기둥과 원기둥의 겉넓이 각기둥과 원기둥의 겉넓이는 전개도를 펼친 후 각각의 넓이의 합을 구해 구할 수 있다. 사각기둥은 두 밑면이 평행하면서 합동이고 옆면은 직사각형으로 이루어진 입체도형이다. 사각기둥의 겉넓이를 구하기 위해 전개도를 그리면, 마주보는 면끼리 로 넓이가 같다. 각 면의 넓이가 ab, bc, ca이므로 사각기둥의 겉넓이는 2(ab+bc+ca)다. _pp.268~269